Sucessões 11º Ano – O Resumo Completo 2022 (com exercícios!)

Exercícios

Só com isto que acabaste de ver, já deves ser capaz de:
🔴 calcular o termo de ordem …
🔴 calcular a ordem do termo … (ou verificar se o termo pertence ou não pertence à sucessão)
🔴 calcular ordem dos termos que estão num determinado intervalo
🟡esboçar o gráfico, calculando os primeiros termos
🟢descobrir o termo geral [mais desafiante e não tão importante]

Aqui, para calcular ordens e termos, tens de estar muito confortável a resolver equações. Vê estes dois exercícios clássicos neste vídeo:

Agora é a tua vez! 😁🔥Começa e pausa o vídeo para resolveres o exercício. Quanto terminares, continua o vídeo para veres a resolução: (qualquer dúvida, vê o exemplo anterior)

E agora pratica ainda mais! Os exercícios de descobrir o termo geral são opcionais – fá-los como um desafio! 😉

Os exercícios de calcular ordens de termos num determinado intervalo é parecido com o de calcular a ordem de um termo, só que agora tens de resolver uma inequação.

Exercícios

Vê este vídeo, para perceberes melhor como calcular os termos seguintes a partir do primeiro:

Só com isto que acabaste de ver, já deves ser capaz de:
🔴calcular os primeiros termos … de uma sucessão definida por recorrência
🟢descobrir o termo geral de uma sucessão definida por recorrência [mais desafiante e não tão importante!]
🟢definir uma sucessão por recorrência, sabendo o termo geral [mais desafiante e não tão importante!]

Agora é a tua vez! 😁🔥Começa e pausa o vídeo para resolveres a alínea a) (a alínea b) é opcional) Quanto terminares, continua o vídeo para veres a resolução (qualquer dúvida, vê o exemplo anterior):

E agora pratica ainda mais! O exercício 2 (de descobrir o termo geral) é opcional – fá-lo como um desafio! 😉

1. APRENDE A TEORIA

Quando nos queremos divertir a fazer sequências de números 😏, há duas maneiras óbvias: há o 1,2,3,4,5,… e há o 1,2,4,8,16,…

Na primeira, somamos sempre o mesmo valor, enquanto que na segunda multiplicamos sempre o mesmo valor. Assim, à primeira, chamamos de progressão aritmética e à segunda de progressão geométrica.

As progressões aritméticas e geométricas são os tipos mais sexy de sucessões. Como têm uma regra fácil para a sua criação, têm muitas propriedades jeitosas. 😁🔥

Vê o vídeo até aos 11.48 para aprenderes essas propriedades. É importante que percebas:
🔴 Como calcular o termo geral e a soma dos N primeiros termos destas progressões

🔴 Tens o termo geral? Há 3 tipos de exercícios

Se já tens o termo geral, há 3 exercícios clássicos:
1. Calcular o termo de ordem N
2. Calcular a ordem do termo … (ou averiguar se o termo … pertence à sucessão)
3. Calcular a soma de N termos consecutivos (sejam eles os primeiros ou não)

Este vídeo aborda os dois primeiros exercícios para uma sucessão qualquer (nem precisa ser geométrica/aritmética):

O terceiro exercício (da soma de N termos consecutivos) é exclusivo às progressões aritméticas e geométricas, porque aqui tens de usar as respetivas fórmulas. Vê o vídeo (dos 22.40 ao fim):

🔴 Não tens o termo geral? Aprende a calculá-lo.

Há várias maneiras de calcular o termo geral. Mas há uma maneira que resulta sempre!

O enunciado dá-te sempre 2 equações diferentes:
1. Substitui todos os u_n nessas equações por u_1 e r (ou seja, pela fórmula do termo geral)
2. Resolve o sistema de equações (com variáveis u_1 e r)
3. Já sabes u_1 e r, por isso escreve o termo geral

O mais fácil é veres o exemplo (vê o exercício 6 todo):

⚠️NOTA: Nos exercícios em que te dão 2 termos da sucessão, não precisas de usar esta estratégia do sistema. Podes simplesmente escrever uma equação, como neste vídeo:
(mas atenção! É só mesmo neste caso! De resto, usa sempre a estratégia do sistema).

🔴 Estratégia Geral

Agora que já sabes os 3 exercícios clássicos e o termo geral, então os exercícios de progressões são sempre a mesma coisa:

1. Calcula o termo geral (resolve o sistema/equação)
2. Calcula o que a pergunta pedir (um dos 3 exercícios clássicos)

E não precisas de saber mais nada! 😁🔥 Se ainda não viste, vê este exemplo. E se já viste, vê outra vez!!!

Se reparares bem, os exercícios de progressões têm sempre as mesmas 4 frases:
1️⃣”A progressão é aritmética/geométrica”.
2️⃣ Primeira Equação
3️⃣ Segunda Equação
4️⃣ Pergunta (um dos 3 exercícios clássicos)

Agora que já percebeste, vamos praticar! (qualquer dúvida que tenhas, volta aos exemplos acima). Dos exercícios de exame seguintes, faz o 2, 3, 7, 14, 17 e 20:

🔴”Averigua se/Mostra que é progressão aritmética/geométrica”

Imagina que já sabes o termo geral. Para mostrar que a progressão é
1️⃣ aritmética, mostra que a diferença entre o termo seguinte e o anterior é uma constante.
2️⃣ geométrica, então tens de mostrar que o quociente entre o termo seguinte e o anterior é uma constante.

Vê o exemplo abaixo no caso da progressão aritmética:

O caso da progressão geométrica segue a mesma lógica, só que tens de dividir o termo seguinte pelo anterior.

🔴”A soma de termos consecutivos é algo em termos de a e b. Determina esses a e b”

Aqui, o segredo é o mesmo no exercício anterior. Na progressão:
1️⃣ aritmética, a diferença entre o termo seguinte e o anterior é uma constante.
2️⃣ geométrica, o quociente entre o termo seguinte e o anterior é uma constante.

Com esta dica, faz agora os exercícios 11, 12, 15 e 19 (estes exercícios podem parecer mais difíceis, mas com calma chegas lá! 💪)

🔴Mais Exercícios

🔴Faz tu: cria o teu próprio exercício!

Fala por experiência própria: nada mais surreal do que sentir que estamos a descobrir a matemática por nós próprios! Por isso, segue os passos seguintes e sente o poder da Matemática:

1️⃣Escreve o termo geral e os 10 primeiros termos da tua progressão aritmética/geométrica preferida (é com esta lista que vais verificar os teus resultados)
2️⃣Faz a pergunta que te apetecer:
🟢 Mostra que certo termo não pertence/não pertence à sucessão, calculando a sua ordem (escolhe termos que saibas que estarão ou não estarão na tua lista)
🟢 Calcula a soma dos termos consecutivos que estão na tua lista usando as fórmulas (depois verifica na tua calculadora somando todos esses termos)
🟢 Mostra que a tua progressão é aritmética e que não é geométrica (ou vice-versa)

Se quiseres criar exercícios mais complexos ainda, inspira-te na receita e nos exercícios que estão nos capítulos “Estratégia Geral” e A soma … Determina esses a e b”.

🔴Faz tu: esclarece dúvidas!

Falo por experiência própria: a melhor maneira de aprendermos é explicando aos outros. Junta-te ao meu servidor no Discord e poderás esclarecer as dúvidas de centenas de alunos! 😁🔥

🔴Desafio: Há alguma progressão que é ao mesmo tempo aritmética e geométrica?

Pensa e coloca a resposta abaixo nos comentários! 😁⬇️

😑Sucessões monótonas

🔞Sucessões Limitadas

➡️Definição de limite convergente

Primeiro, inspiramo-nos em sucessões como 1/n.

Imagina o n a aumentar (podes imaginar o gráfico ou numericamente). Ora, vês que, à medida que o n aumenta, a sucessão embora nunca chegue a 0, está cada vez mais próxima de 0.

Neste caso, como está cada vez mais próxima de 0, dizemos que o limite é 0.

Num caso mais geral, quando o limite da sucessão é um número real qualquer, então nós dizemos que a sucessão é convergente (porque a sucessão converge para aquele número, ou seja, aproxima-se cada vez mais daquele número).

E agora, é traduzir esta definição para Matemática!

Não é muito importante saberes esta definição (porque não vais usá-la em mais lado nenhum). O mais importante mesmo é percebes a ideia intuitiva.

Mas se tiveres curiosidade, vê a definição neste vídeo:

🔀Limites divergentes

Mas claro, nem todas as sucessões são convergentes, ou seja, nem todas se aproximam de um número real.

A uma sucessão que não é convergente, nós chamamos de divergente. No fundo, “divergente” é o mesmo que “não convergente”, ou seja, que não se aproxima de nenhum número real.

🔴ATENÇÃO: Há duas maneiras principais de uma sucessão ser divergente:
1. A sucessão aproxima-se de um valor tão grande ou tão pequeno quanto quisermos porque nunca para de crescer/decrescer (o exemplo clássico é a sucessão n)
2. A sucessão nunca se aproxima de número nenhum porque está sempre a “saltar”. (o exemplo clássico é a sucessão (-1)ⁿ)

No segundo caso, como a sucessão não se aproxima de nada, então não há limite.

Porém, no primeiro caso, a sucessão de facto está-se a aproximar de alguma coisa – mas desta vez não é um número real, mas sim um valor tão grande ou tão pequeno quanto quisermos.

Neste caso, faz todo o sentido falarmos em limite, porque a sucessão aproxima-se de algo. Mas como não esse algo não é um número real, então não podemos usar a definição anterior – temos de criar outra definição de limite de propósito para estes casos.

🧮Como calcular limites

Da parte de limites, esta é a mais importante.

🔴ATENÇÃO: Mais vocabulário (que não interessa mas que às vezes é utilizado):
Infinitamente grande positivo: sucessão com limite +∞
Infinitamente grande negativo: sucessão com limite –∞
Infinitésimo: sucessão com limite 0 (Dica: se 1/10 é um décimo e 1/100 é um centésimo, então 1/∞, ou seja, 0 é um infinitésimo! 😜)

Para uma outra perspetiva de como calcular os limites de sucessões, vê o meu vídeo de limites (até aos 26:51). Onde estiver x, imagina que está n – a estratégia é exatamente a mesma:

Exercícios: faz tu!

EXERCÍCIO 1: Lembrando que a sucessão 1/n é uma sucessão não constante com limite 0, dá um exemplo de uma sucessão não constante:
1.1 – Com limite 2
1.2 – Com limite -3
1.3 – Crescente e com limite 0 (DICA: repara que 1/n é decrescente)
DICA: Pensa na álgebra de limites

EXERCÍCIO 2: Pega nas tuas sucessões preferidas com frações, raízes quadradas, potências, … (o que te apetecer!) e calcula o limite dessa sucessão (mas não inventes muito… 😂)

Depois, verifica a tua resposta na calculadora inteligente Wolfram Alpha (já deixei um exemplo no link – depois é só trocares pela sucessão que quiseres).

🔴ATENÇÃO: o WolframAlpha inicialmente faz limites de funções e não de sucessões (por isso, depois de cada pesquisa, deves ainda clicar em discrete para mudar para limites de sucessões):

Esquema-resumo

Porém, mesmo sabendo estas relações, não dá para perceber bem todas as possibilidades.

Nestas situações, os matemáticos têm um truque, que é organizar tudo num esquema (do género de diagrama de Venn):

Olhando para o esquema, vês que:

Convergente ⇒ Limitada (o mundo das sucessões convergentes vive dentro do mundo das sucessões limitadas)
Limitada + Monótona ⇒ Convergente (quando os mundos das sucessões limitadas e das sucessões monótonas se intersetam, estamos obrigatoriamente no mundo das funções convergentes)
Uma sucessão pode ser convergente mas não monótona (o mundo das sucessões convergentes não está todo dentro do mundo das sucessões monótonas)

Mas tudo se torna mais fácil de lembrar quando dás um exemplo clássico a cada sucessão:

Aqui, (-2)ⁿ é um exemplo de uma sucessão que ao mesmo tempo não é limitada (porque a sucessão fica tão grande e tão pequena quanto queremos) e não é monótona (porque está sempre a saltar).

De facto, combinando as três sucessões clássicas: 1/n, n e (-1)ⁿ (uma que é convergente, outra divergente para +∞ e outra divergente sem limite), consegues criar uma sucessão com as propriedades que te apetecerem! (claro, pode ser preciso adicionar/multiplicar constantes 😉)

CURIOSIDADE: repara que Monótona ⇒ tem limite, ou seja, todas as sucessões monótonas têm limite (seja ele um número real ou ±∞). Isto porque se uma sucessão é monótona então temos duas opções:
1️⃣é também limitada e então é convergente (ou seja, o limite é um número real)
2️⃣não é limitada e então será divergente para ±∞ (ou seja, o limite é ±∞).

Exercícios – faz tu!

EXERCÍCIO 1: Dá um exemplo de uma sucessão:
1.1 – monótona e divergente
1.2 – monótona e convergente
1.3 – não monótona e divergente
1.4 – não monótona e convergente
1.5 – monótona e limitada
1.6 – não monótona e limitada
1.7 – monótona e não limitada
1.8 – não monótona e não limitada
1.9 – decrescente e limitada
1.10 – crescente e limitada
1.11 – crescente e convergente
1.12 – crescente e divergente
DICA: Inspira-te nos exemplos clássicos acima 😏

EXERCÍCIO 2: Dá um exemplo de uma sucessão:
2.1 – Monótona e convergente para 1.
2.2 – Crescente e convergente para -2
2.3 – Não monótona e convergente para 1.
DICA: combina os exemplos clássicos acima

EXERCÍCIO 3: Dá um exemplo de uma sucessão:
2.3 – Não monótona e divergente para +∞
2.4 – Não monótona e divergente para – ∞.
DICA: um exemplo é …² (descobre esse “…”)

Mostrar que uma sucessão é limitada (2ª maneira)

Já vimos que Convergente ⇒ Limitada. Isto significa que há uma 2ª maneira de demonstrar que uma sucessão é limitada!

Mostrar que sucessão é limitada
[2ª Maneira]:
Calcula o limite da sucessão
(se for um número real, já sabes que a sucessão é convergente, logo é limitada!)

🔴ATENÇÃO: Se a sucessão não tiver limite, isso não significa que não seja limitada (lembra-te do exemplo clássico (-1)ⁿ).

🔴ATENÇÃO: Esta estratégia só é útil para mostrar que uma sucessão é limitada – ela não te diz nada sobre os minorantes e majorantes.

Descobrir minorantes e majorantes usando monotonia e convergência

Mas se pensarmos bem, tanto a monotonia como a convergência dão-nos pistas sobre os minorantes e majorantes.

Se pensares no gráfico de uma sucessão, chegas rapidamente à conclusão de que:

🟢Se é crescente, então o 1º termo é um minorante
🟢Se é decrescente, então o 1º termo é um majorante.

E agora, imagina que sabemos que essa sucessão é também convergente e pensa no gráfico. Rapidamente percebes que:

🟢 Se é crescente e convergente, então o 1º termo é um minorante e o limite é um majorante
🟢Se é decrescente e convergente, então o 1º termo é um majorante e o limite é um minorante.

Nenhuma destas conclusões é extraordinária – é só imaginares o gráfico. Ou então podes pensar:

🟢Se uma sucessão cresce sempre, então o primeiro termo é o menor e o “último” termo (o limite) é o maior.
🟢Pelo contrário, se decresce sempre, então o primeiro termo é o maior e o “último” termo (o limite) é o menor.

Maneiras de visualizar uma sucessão

Para entender uma sucessão, há várias coisas que podes fazer:

• Calcular os primeiros termos e escrevê-los em sequência (por exemplo, 1,3,5,7,…)
• Calcular os primeiros termos e desenhar o gráfico
• Esboçar todo o gráfico como se fosse uma função (quando sabes limites, monotonia ou limitação)
• Definir a sucessão por ramos (principalmente quando tens (-1)ⁿ, (-2)ⁿ e companhia, separando os casos em que n é par e em que n é ímpar)

Lidar com (-1)ⁿ e companhia

Para lidar com as sucessões que têm (-1)ⁿ, (-2)ⁿ, etc, há duas opções:

1. definir a sucessão por ramos (é o que fazes na maioria das vezes, em que separas o caso em que n é par e em que n é ímpar)
2. considerar o módulo dessa sucessão (fazes principalmente para ver se a sucessão é limitada)

Descobrir termos de ordem par/ímpar

Quando pedem por termos de ordem par ou ímpar, basta lembrares que:

Números pares: números da forma 2k
Números ímpares: números da forma 2k-1
(em que k é um número inteiro)

Mas se estivermos a falar de ordens (que são números naturais 1,2,3…), então:

Ordens pares: números da forma 2k
Ordens ímpares: números da forma 2k-1
(em que k é um número natural)

Depois, para resolver o exercício, é só substituíres o teu n por 2k ou 2k-1. Vê, por exemplo, o exercício 1 seguinte:

Soma de termos consecutivos de uma progressão que não começa no primeiro

Tu já sabes fazer a soma dos N primeiros termos – é só usares a fórmula.

Mas e se a soma não começar no primeiro termo? Por exemplo:

QUESTÃO: Seja u_n=2n. Calcula a soma
u₄ + u₅ + u₆

Fazendo à mão, vias rapidamente que o resultado é 30 (mas como é óbvio, fazer à mão não funciona muito bem se estiveres a somar 100 termos).

Aqui, há duas maneiras de resolver (e nenhuma delas é fazer a conta à mão😜).

A primeira maneira é a seguinte:

No fundo:

PRIMEIRA MANEIRA
Soma todos os termos até ao último (fórmula) e subtrai a soma dos primeiros termos que não interessam (fórmula)

Esta é a maneira mais simples de perceber.

EXERCÍCIO 1: Mostra que o resultado é 30 por esta primeira maneira.

Mas há outra maneira mais rápida: podes aplicar a soma dos N primeiros não a esta sucessão, mas sim à sucessão em que começas logo no termo que te interessa (ignorando os primeiros termos que não te interessam)

Neste caso, como queres saber o u₄ + u₅ + u₆, então começas a tua nova sucessão no u₄ (ignorando os termos u₁, u₂, u₃, que não interessam).

Primeiro, se queres aplicar a soma dos N primeiros termos, então tens de saber o N, ou seja, o número de termos dessa soma.

Neste caso, é fácil. Mas no caso geral, qual é o truque? O truque é pensar como há pouco: ao número de todos os termos até ao último (neste caso, 6) subtrais o número dos primeiros termos que não interessam (neste caso, 3). Ficas então com N=6-3=3 termos, como previsto.

🔴ATENÇÃO: No caso geral, a tua tentação seria fazer último – primeiro, ou seja, 6-4 (o que dava errado). A maneira fácil de pensares é todos – não interessa, ou seja, 6-3.

Agora que sabes o número de termos da tua soma N, é só aplicares a fórmula. Repara que esta nova sucessão tem a mesma razão que a original, só que agora o primeiro termo é u₄ (e, na progressão aritmética, o último termo será u₄+r(N-1) pela fórmula do termo geral).

Resumindo:

SEGUNDA MANEIRA
1. Calcula o número de termos N da tua soma (todos – não interessam)
2. Aplica a fórmula da soma (mesma razão, diferente primeiro termo)

EXERCÍCIO 2: Mostra que o resultado é 30 por esta segunda maneira.

EXERCÍCIO 3: Faz o mesmo exercício só que para uma progressão geométrica à tua escolha.